Почти всякая сложная техническая задача принятия решения многоцелевая, т.к. при выборе наилучшего варианта приходится учитывать много различных требований, предъявляемых к машине, и среди этих требований встречаются противоречащие друг другу. Однако почти все математические методы оптимизации предназначены для нахождения экстремума одной функции - т.е. для одной цели. Поэтому чаще всего пытаются свести многоцелевую задачу к одноцелевой [11,c.30-37]. Эта процедура в большинстве случаев приводит к серьезному искажению существа проблемы и, следовательно, к неоправданной замене одной задачи другой.

Если при решении одноцелевых задач методологических проблем не возникает, а возможны только вычислительные трудности, то иначе обстоит дело с многоцелевыми решениями. Здесь основные нюансы связаны со следующей проблемой: что следует считать наилучшей альтернативой в задаче с несколькими целевыми функциями, которые противоречивы и достигают максимума в различных точках множества альтернатив? На этот счет на сегодняшний день не существует единого мнения, поэтому оценка качества системы в случае векторного показателя качества является одной из главных проблем в теории эффективности и исследования операций.

Многомерные цели могут находиться друг с другом в следующих отношениях:

1. Цели взаимно нейтральны. Система может применительно к отдельным целям характеризоваться и рассматриваться независимо.
2. Цели кооперируются. Здесь, как правило, систему удается рассмотреть применительно к одной цели, а остальные достигаются одновременно.
3. Цели конкурируют. В этом случае одну из целей можно достигнуть лишь за счет другой.

Если цели частично нейтральны, частично кооперированы и частично конкурируют между собой, то задача формулируется таким образом, что нужно принимать во внимание только конкурирующие цели. Рассмотрение нейтральных или кооперативных целей не представляет особых трудностей, так что проблемы, ориентированные на множество целей, прежде всего должны быть рассмотрены в части конкурирующих целей, коль скоро все они вместе не могутбыть выражены одномерным параметром.

Можно предложить следующую структуру существующих на сегодняшний день процедур решения такого рода многоцелевых задач:

• По методу использования информации
• Априорные
• Апостериорные
• Адаптивные (на основе методов теории чувствительности)
• По методу принятия решения

1. Скалярная постановка

• Метод главной компоненты
• Метод уступок
• Метод комплексного критерия
• Метод Гермейера
• Метод справедливого компромисса
• Метод условного центра масс
• Метод на основе функции Харрингтона
• Метод идеальной точки

1. Векторная постановка (выделение Парето-оптимальной области)

В известной степени эти методы переплетаются друг с другом, поэтому данная структура не претендует на законченный вид, а способствует лучшему пониманию путей решения рассматриваемой в работе проблемы.

Рассмотрим ряд методов, суть которых заключается сведении задачи к одноцелевой.

где

В литературе, посвященной вопросам оптимизации программ рубок ухода, в качестве главного показателя выбирают, например, их себестоимость или объем лесопользования [37], [30], [33]). При оптимизации металлоконструкций лесных машин - металлоемкость [2,3], [11], [35]). Когда решаются технологические задачи лесного производства принято использовать в качестве главной компоненты производительность [38], [36]).

Для задач, у которых критерии не равнозначны, применяется другой метод решения - уступок. Прежде чем решать поставленную задачу по методу уступок, необходимо:

Пример 7.1. Решить задачу по двум критериям, считая наиболее предпочтительным. Его отклонение от максимального значения составляет 10 %:

Далее, решая задачу линейного программирования при минимизации второго показателя эффективности имеем W₂^* = 7,6 при x₁ = 2,6 и x₂ = 5. При этом значение показателя эффективности W₁ не изменилось и равно 12,6.

Метод комплексного критерия, в отличие от метода главной компоненты, применяется довольно редко. Он заключается в переходе от векторного критерия к скалярному путем образования суммарного монопоказателя. При этом основная идея метода заключается в составлении одной функции, аргументами которой служат компоненты вектора полезного эффекта. Особенно частым случаем является представление такой функции в виде дроби, где в числителе стоят все величины, увеличение которых желательно (например, эффект), а в знаменателе те, которые хотелось бы уменьшить. В лесной экономике особенно часто, например, употребляется показатель приведенных затрат, где числитель выражает производительность труда (м³), а знаменатель - затраты. Такой показатель в настоящее время подвергается обоснованной критике, так как при этом вводится неявное допущение о том, что недостаток в одном показателе может быть скомпенсирован за счет другого. При этом, если желательно не оговаривать условия, то может получиться, что комплекс дорогостоящих, но и высокопроизводительных машин (харвестер + форвардер) будет иметь одинаковый показатель с каким-нибудь устаревшим вариантом, имеющим малую производительность и, соответственно, стоимость.

Другим, несколько более замысловатым методом составления комплексного критерия является метод его свертывания (метод Гермейера).

В этом методе комплексный критерий образуется в виде следующего произведения.

Пусть каждый критерий W_i(u) характеризует некоторый показатель изделия альтернативы u - металлоемкость, производительность, грузоподъемность, надежность, устойчивость, доступность предмета труда, повреждаемость древостоя, вибронагруженность оператора. Наилучшая альтернатива, по-видимому, характеризуется наиболее удачным сочетанием всех этих показателей качества, т.е. имеет максимальное значение "глобального" качества. Таким образом, для выбора наилучшей альтернативы достаточно уяснить, каким образом глобальное качество зависит от единичных показателей качества, после чего многоцелевая задача может быть сведена к задаче скалярной оптимизации с использованием функции вида:

где

Здесь основная трудность заключается в способе назначения коэффициентов значимости. Обычно для их определения используют экспертные методы. Поэтому в ряде ситуаций может употребляться модель, в которой глобальное качество альтернативы представляет собой сумму единичных показателей (принцип равномерной оптимальности) [39]:

Этой моделью пользуются в задачах, в которых критерии имеют одну и ту же единицу измерения (как правило, стоимостную). В качестве примера можно привести целевую функцию лесоводственно-экономического обоснования оптимального размера промежуточного пользования, предложенную Мошкалевым А.Г. [40].

Если критерии W_i(u) не выражаются в одних и тех же единицах измерения, то их приводят к безразмерному виду путем деления значения каждого критерия на единицу соответствующего масштаба или путем введения функции [39]:

где

Основным недостатком принципа равномерной оптимальности является невозможность компенсации недопустимо малых значений некоторых критериев достаточно большими значениями других.

Действительно, если u характеризует проект манипулятора, а W₁ и W₂ представляют собой надежность и грузоподъемность, то он может обладать очень высокой надежностью в том случае, когда сможет (в лучшем случае) поднять из-за чрезмерного собственного веса лишь собственный захват или харвестерную головку. Очевидна бесполезность такого изделия, глобальное качество которого может быть довольно большим, если определять его по принципу равномерной оптимальности.

Свободен от этого недостатка метод справедливого компромисса:

Как видно из формулы, манипулятору с нулевой грузоподъемностью будет присвоено нулевое значение. Этот принцип оптимальности весьма популярен и встречается во многих работах.

Методы компромиссов в большей степени приспособлены к решению задач в векторной постановке [3].

Метод условного центра масс нашел довольно широкое распространение в лесотехнических приложениях. В работах [1-8], [12], [15] на основе этого метода решены задачи обеспечения эффективности лесохозяйственных машин для рубок ухода, лесомелиоративных агрегатов, гидроманипуляторов трелевочных машин.

Пусть последовательно найдены значения экстремумов для каждого показателя W_i(u), что соответствует точкам в пространстве параметров с координатами {x₁^i*, x₂^i*,..., xn^i*}.

Введем понятие "условной массы" точки [3]:

где

Найденные по этому методу средневзвешенные значения параметров x_i^** учитывают не только интересы всех показателей качества, но и чувствительность каждого по отношению к данному параметру.

Завершим обзор априорных процедур рассмотрением метода идеальной точки в пространстве критериев [41,42]. Пусть на множестве альтернатив U заданы n целевых функций W₁(u),...,W_n(u).

Интуитивно такой подход представляется очень привлекательным. Однако он не лишен довольно существенных недостатков. Одни из основных - возникновение проблемы выбора метрики и несоответствие аксиоме независимости.

Как показано выше, ни один из перечисленных выше методов не свободен от недостатков, связанных с желанием упростить задачу и сделать ее однозначной. Однако, как правило, упрощение сложного явления, в принципе не упрощаемого, не может дать верного ответа.

Поэтому, в настоящее время разработан ряд методов, не "уходящих" от сложности проблемы и предпочитающих учитывать все ее стороны. Такие методы основаны на принципе компромисса, то есть принятия взвешенного решения, в котором фигурируют в определенной пропорции все действующие факторы. При этом, в некоторых методах предлагается не однозначный ответ а лишь область разумных (рациональных) решений. Принятие же однозначного решения остается прерогативой лица принимающего решение (ЛПР). Одним из таких методов является весьма распространенный метод Парето, предложенный итальянским математиком-экономистом Парето в 1904 году. Основная идея метода Парето заключается в сохранении множества возможных вариантов и выделении области из которой необходимо выбирать наиболее целесообразные варианты. При этом к области Парето относится только такое множество решений, где с изменением какого-либо из них критерии меняются противоречиво. Поясним более подробно это положение.

Более ясным это условие становится при рассмотрении следующего графика (см. рис. 7.1).

Предположим, что целью исследований является

где

Необходимо отметить, что построение области Парето является трудно формализируемой задачей, так как при этом необходимо проводить многократно трудоемкий процесс оптимизации. Однако Н.Н.Моисеевым предложен сравнительно простой и наглядный графоаналитический метод приближенного построения области Парето.

• составление таблицы испытаний (выбор пробных точек);
• выбор критериальных ограничений;
• анализ результатов и принятие решения.

Остановимся более подробно на порядке выполнения этих этапов.

Таблица 7.1

где

где

• анализируется корреляционная матрица

где

В заключение отметим следующие моменты. Процедуры данного типа основаны на предположении о возможности априорного определения наилучшего соотношения между требованиями, предъявляемыми различными критериями. Понятно, что такая возможность существует не всегда. Кроме того, выбор конкретного вида глобальной функции цели не может быть осуществлен в отрыве от решаемой задачи.

В основе апостериорных процедур лежит предположение, что формальная модель многоцелевой задачи не содержит информации, достаточной для однозначного выбора наилучшей альтернативы. Следовательно, решения, принимаемые с помощью апостериорных процедур, имеют принципиально субъективный характер, что предопределяет необходимость привлечения субъективных суждений конструктора. Учет предпочтений проектанта в этом случае является одним из наиболее эффективных методов снятия имеющейся неопределенности.

Апостериорные процедуры принятия решений заключаются в формулировке дополнительных требований, накладываемых на предпочтения проектанта, выполнение которых позволяет однозначно восстановить некоторую скалярную функцию полезности P(u), после чего задача принятия решений сводится к скалярной оптимизации.

Типичная структура апостериорной процедуры решения многокритериальных задач такова. Сначала выполняется проверка гипотезы о независимости по полезности. Если ответы проектанта позволяют сделать вывод, что независимость действительно имеет место, то с помощью специальных методов (часто используется принцип лотереи) восстанавливаются все величины, необходимые для идентификации искомой функции полезности.

Основным достоинством апостериорных процедур по сравнению с априорными является четкое определение условий, при выполнении которых ими можно пользоваться. Но их практическое использование часто наталкивается на необходимость сбора чрезвычайно большого количества информации, а также на то, что проектант во многих случаях либо не может дать информацию, необходимую для реализации процедуры, либо дает ее с большими ошибками. Это связано, как правило, с неподготовленностью проектанта к решению такого рода задач.

Как известно, в кибернетике под адаптацией понимается "процесс накопления и использования информации в системе, направленный на достижение определенного, обычно оптимального в некотором смысле состояния или поведения системы при начальной неопределенности или изменяющихся внешних условиях [174]. Из приведенного выше определения в результате анализа можно сформулировать некоторые общие принципы адаптации:

• адаптация представляет, как правило, непрерывный динамический управляемый случайный процесс;
• в процессе адаптации управление процессом должно быть оптимальным по какому-либо одному или нескольким критериям (показателям).

В процессе адаптации (адаптивного управления) могут меняться: параметры, структура системы, алгоритм функционирования, управляющие воздействия и т.д. Как известно, процесс оптимального проектирования может интерпретироваться в виде задачи оптимального управления. Поэтому к нему могут быть полностью применены как общие принципы, так и методы адаптации. При этом адаптация здесь может рассматриваться с двух точек зрения:

• во-первых, в ходе проектирования происходит непрерывное поступление и накопление знаний об условиях применения будущего объекта, новых данных о материалах, их поведении при действующих нагрузках и т.д., которые должны учитываться при принятии оптимальных решений;
• во-вторых, некоторые изделия, в частности лесного машиностроения, после их создания работают в самых разнообразных и неопределенных условиях, что требует, в свою очередь, от конструктора обеспечения максимальной приспособляемости машины к изменяющимся условиям.